유클리드 제5공리

미국 제 16대 대통령이었던 에어브리험 링컨. 미국의 노예제도 폐지를 끝낸 위인이다.

Goverment of the people, by the people, for the people, shall not perish from the earth
국민의, 국민에 의한, 국민을 위한 정부는 사라지지 않을 것이다.

 

평소 유클리드의 '원론'을 늘 묵상할 만큼 수학을 열심히 공부했던 링컨은 계몽철학과 경험철학의 시조인 영국의 존 로크의 사상에 많은 영향을 받았다. 로크 또한 유클리드 원론에 입각해 자신의 주장을 펼쳤으며, 미국의 독립선언문 또한 유클리드의 원론에 입각해 논리를 펼친 선언문이다.

 

유클리드 원론에서는 공리가 나오는데, 일반적으로 받아들일 수 밖에 없는 공리를 의미한다.

공리 1 : 임의의 서로 다른 두 점을 지난 직선은 유일하다.

공리 2 : 직선은 무한히 연장할 수 있다.

공리 3 : 임의의 점을 중심으로 임의의 길이를 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다.

공리 4 : 모든 직각은 같다.

 

공리가 받아들일 수밖에 없는 참이라면, 공리로부터 연역적으로 추론된 것도 참이라는 뜻이며, 공리를 바탕으로 도출해내 증명들은 반박할 수 없는 논리적 엄밀성을 지니게 된다. 그렇게 쓰여진 책이 바로 유클리드 원론인 것이다.

 

존 로크는 '안간의 자연 상태는 모두 자유롭고 평등학고 독립적이고, 이것은 받아들일 수 밖에 없는 공리같은 사실이다.'며 이를 바탕으로 논리적으로 추론되는 정부의 목표는 자유권, 평등건, 독립성을 보존하는 것임을 반박할 수 없는 것이라고 주장했다.

1776년 토마스 재퍼슨이 작성한 미국의 독립선언문도 역시 '모든 사람이 평등하게 태어났다는 것은 받아들일 수밖에 없는 공리 같은 사실~ '이라며 원론의 논리 과정을 따르고 있는데 이를 바탕으로 미국은 영국을부터 독립해 자유로운 국가가 되어야 한다고 주장했다.

링컨은 노예 제도의 모순성을 논리적으로 설명하고 주장했다. 링컨이 유클리드 원론에 입각해 생각한 것은, 노예를 소유할 권리가 피부색, 지성 또는 돈에 의해 정당화된다면, 같은 추론을 적용해 그 노예도 피부색이 다른 주인을 노예로 만들 수 있다는 논리 또한 정당화 된다는 점이다.

 

사실 앞서 언급한 공리들 외에도 유클리가 말한 공리가 하나 더 있었다. 

 

공리 5(평행선 공리) : 한 평면 위의 한 직선이 그 평면 위의 두 직선과 만날 때 동측내각의 합이 180도보다 작으면 이 두 직선은 그쪽에서 만난다.

 

유클리드는 원론을 기하에 대한 다섯 개의 공리 위에 건설했다.

제 5공리의 서술이 익숙치 않다면 우리가 중1때 배웠던 수학을 생각해보면 된다.  동위각과 엇각, 평행선의 관계이다. 동위각의 크기가 같으면, 두 직선은 평행하다. 엇각의 크기가 같은 두 직선은 평행하다. 두 직선의 평행하면 동위각의 크기도 서로 같다. 두 직선의 평행하면 엇각의 크기가 서로 같다.

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또한 제5공리를 이렇게 쓰기도 한다.

유클리드 평행선 공리(평행선의 유일성) : 한 직선 l 과 그 직선 위에 있지 않은 한 점 p 에 대해 p를 지나 직선 l 과 평행인 직선 m 이 유일하게 존재한다.

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사실 제 5공리가 앞의 다른 네개의 공리보다 훨씬 복잡하기 때문에, 수학자들은 제 5공리를 앞의 네 개의 공리들로부터 추론할 수 있지 않을까 해서 시도해보기도 했다. 결과적으로는 실패했다. 자그마치 이천년이 넘도록. 덕분에 수학자들은 제5공리와 같은 의미의 여러 명제들을 만들기도 했다. 

 

- 삼각형의 내각의 합은 180도이다.

- 직사각형이 존재한다.

- 임의의 직각 삼각형에서 피타고라스의 정리가 성립한다.

- 임의의 삼각형에 대한 닮은 삼각형이 존재한다.

- 삼각형의 넓이는 (밑변 * 높이)/2 이다.

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즉, 위의 명제 중 하나를 제 5공리와 대체하더라도 똑같은 의미로 유클리드 원론을 기술 할 수 있다는 뜻이다. 중학교에서 배우는 기하에서 대부분의 중요한 내용은 위의 명제로부터 유도된다. 다시 말해 중학교 기하는 제 5공리 와 관련된 수학 구조를 배운다고 할 수 있다.

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